Belajar IPAIlmuPengetahuan.net Belajar IPA Online New !!

Menyelesaikan Persamaan Linear dengan Matriks dan Contohnya

Hai sobat Belajar MTK – Ada banyak cara yang bisa digunakan untuk menyelesaikan sebuah persamaan linear, di antaranya adalah eliminasi, substitusi, atau gabungan keduanya. Selain itu, persamaan linear juga bisa diselesaikan dengan matriks. Bagaimana caranya? Agar lebih jelas, berikut cara menyelesaikan persamaan linear dengan matriks dan contohnya.

A. Penyelesaian Persamaan Linear Dua Variabel dengan Determinan Matriks

Matriks dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan linear dua variabel. Caranya bisa disimak dari contoh soal berikut.

Tentukan himpunan penyelesaian di bawah ini:

x + y = 2

3x + 6y = 18

Penyelesaian:

1 . Ubah sistem persamaan tersebut ke dalam bentuk matriks

Ubah Ke Bentuk Matriks

Ubah Ke Bentuk Matriks

2 . Tentukan matriks D, Dx, Dy, dan Dz dengan elemen matriks sebagai berikut:

  • Matriks D: matriks 2 x 2 yang elemennya terdiri dari koefisien semua variabel dalam persamaan.
  • Matirks Dx: matriks 2 x 2 dengan elemen kolom pertama adalah konstanta persamaan, kolom kedua adalah koefisien y.
  • Matirks Dy: matriks 2 x 2 dengan elemen kolom pertama adalah koefisien x, kolom kedua adalah konstanta persamaan.

Hasilnya adalah sebagai berikut.

Determinan Matriks

Determinan Matriks

3 . Tentukan determinan matriks D, Ddan Dy.

D= 1.6 – 1.3

   = 6 – 3

   = 3

Dx= 2.6 – 1.18

  = 12 – 18

  = -6

Dy = 1.18 – 2.3

  = 18 – 6

  = 12

4 . Tentukan nilai x dan y, yaitu

x = Dx/D = -6/3 = -2

y = Dy/D = 12/3 = 4

Himpunan penyelesaiannya adalah {-2, 4}

B . Penyelesaian Persamaan Linear Dua Variabel dengan Invers Matriks

Sistem persamaan dua variabel juga bisa diselesaikan dengan metode invers matriks. Untuk mengingat kembali invers matriks, perhatikan rumus berikut.

Invers matriks A adalah:

Nah, sekarang, supaya lebih jelas, berikut cara menyelesaikan persamaan linear dengan matriks dan contohnya untuk dua variabel.

Tentukan himpunan penyelesaian untuk dua persamaan berikut:

2x + 3y = 6

 x   –  y = 3

Langkah 1: Ubah persamaan menjadi bentuk matriks AX = B.

Ubah Menjadi Matriks

Ubah Menjadi Matriks

Langkah 2: Ubah matriks menjadi bentuk invers matriks X = A-1B

Ubah Menjadi Invers Matriks

Ubah Menjadi Invers Matriks

Langkah 3: Selesaikan persamaan matriks tersebut.

Penyelesaian Matriks

Penyelesaian Matriks

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {3,0}

C. Penyelesaian Persamaan Linear Tiga Variabel dengan Determinan Matriks

Dalam hal ini, determinan ditentukan dengan metode Sarrus. Untuk menyelesaikan cara yang terakhir, langkah-langkah penyelesaiannya bisa disimak lewat contoh soal berikut ini.

Contoh soal:

Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan linear tiga variabel berikut ini.

 x + y + z  = -6

 x – 2y + z  = 3

-2x + y + z = 9

Cara penyelesaian:

1 . Ubah menjadi bentuk matriks, yaitu:

Ubah Menjadi Matriks 3x3

Ubah Menjadi Matriks 3×3

2 . Tentukan matriks D, Dx, Dy, dan Dz, yaitu:

  • Matriks D: elemennya terdiri dari koefisien semua variabel dalam persamaan.
  • Matirks Dx: elemen kolom pertama adalah konstanta persamaan, kolom kedua koefisien y, dan kolom ketiga koefisien z.
  • Matirks Dy: elemen kolom pertama adalah koefisien x, kolom kedua konstanta persamaan, dan kolom ketiga koefisien z.
  • Matirks Dz: elemen kolom pertama adalah koefisien x, kolom kedua koefisien y, dan kolom ketiga konstanta persamaan.

Hasilnya adalah sebagai berikut.

Matriks D Dx Dy Dz

Matriks D Dx Dy Dz

 

3 . Tentukan determinan matriks D, Dx, Dy, dan Dz.

Determinan D dan Dx

Determinan D dan Dx

Determinan D dan Dx

Determinan Dy dan Dz

Determinan Dy dan Dz

Determinan Dy dan Dz

4 . Tentukan nilai x, y, dan z

x = Dx/D = 45/-9 = -5

y= Dy/D = 27/-9 = -3

z= Dz/D = -18/-9 = 2

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {-5, -3, 2}

Berikut kalkulator persamaan linear dua variabel, silahkan dicoba

Baca juga : Rumus Mencari Determinan Matriks dan Contohnya

Itulah cara menyelesaikan persamaan linear dengan matriks dan contohnya. Agar bisa memahami cara-cara di atas dengan lebih baik, sering-seringlah berlatih memecahkan soal-soal serupa.

Leave a Reply